2343: 组合数-【2014暑期训练】T1Day1T2

组合数 解题报告

预备知识

C(n, 0) = C(n, n) = 1 (n > 0;)
C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k) (0 < k < n)

算法一

有了预备知识里面的公式，我们可以得到一个最简单的算法。

先预处理算出所有的C(n,k)。

然后再读入，输出。

但是这样会产生一个问题，当n比较大的时候，C(n,k)会超出longint的范围。

解决方法？高精度！。

由于高精度的速度限制，所以这个算法只能过30％的点。

算法二

观察题目输出，其实就是输出C(n,k)mod 2=.这样可以运用同余算术的性质。

(a + b)mod k=((a mod k)+(b mod k))mod k

（由于是mod 2，还可以写成and 1，利用位运算加速）

原式变为：

C(n, k) = (C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k)) mod 2 (0 < k < n)

这样好多了，可以过50％的点。

算法三

直接的递推算法还可以优化嘛？找不出了。那我们掉换思路，从规律入手。

将前面的情况全部打印出来，我们可以发现。

其实就是一个2^k*2^k的三角形分解为四个2^(k-1)*2^(k-1)的三角形，中间一个三角形全为0，

余下三个三角形继续分解。详见程序和下面的附表

这个规律比较严格的描述是这样的，设N=X_aX_a-1X_a-2…X_1（2），K=Y_bY_b-1Y_b-2…Y_1（2）

（即用二进制表示）C(n,k)为偶的充分必要条件是存在i使得X_i<Y_i

这样可以通过100%的点。

附表：ｎ＝32的情况（注：为了整齐0写成00，1写成11）

11

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对组合数C(n,k) (n&gt;=k)：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数。
　　组合数的奇偶性判定方法为:
　　结论：
　　对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。
　　证明：
　　利用数学归纳法：
　　由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);
　　对应于杨辉三角：
　　1
　　1 2 1
　　1 3 3 1
　　1 4 6 4 1
　　………………
　　可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k &gt; 0) 满足结论的情况下，
　　C(n,k)满足结论。
　　1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：
　　则有：(n-1)&k == k;
　　(n-1)&(k-1) == k-1;
　　由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1
　　。
　　现假设n&k == k。
　　则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。
　　因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。
　　所以得n&k != k。
　　2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：
　　则有：(n-1)&k != k;
　　(n-1)&(k-1) != k-1;
　　现假设n&k == k.
　　则对于k最后一位为1的情况：
　　此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。
　　而对于k最后一位为0的情况：
　　则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。
　　相应的，n对应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。
　　而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。
　　则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。
　　所以得n&k != k。
　　由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。
　　3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：
　　则有：(n-1)&k == k;
　　(n-1)&(k-1) != k-1;
　　显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。
　　所以k的末尾必有一部分形如：10;
　　相应的，n-1的对应部分为： 1{*}*;
　　相应的，k-1的对应部分为： 01;
　　则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.
　　所以n的对应部分也就为 ： 1{*}*; (不会因为进位变1为0)
　　所以 n&k = k。
　　4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：
　　则有：(n-1)&k != k;
　　(n-1)&(k-1) == k-1;
　　分两种情况：
　　当k-1的最后一位为0时:
　　则k-1的末尾必有一部分形如: 10;
　　相应的，k的对应部分为 : 11;
　　相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)
　　相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;
　　所以n&k = k。
　　当k-1的最后一位为1时:
　　则k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的)
　　相应的，k的对应部分为 : 10;
　　相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)
　　相应的，n的对应部分为 : 10;
　　所以n&k = k。
　　由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。